Задание 20 — №472401

Вынесем общий множитель из числителя: $2x^2-16x+32=2(x^2-8x+16)$.

Распознаем полный квадрат по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Подставляем $a=x$ и $b=4$: $x^2-8x+16=(x-4)^2$. Тогда неравенство принимает вид: $\frac{2(x-4)^2}{x+6}\leq0$.

Анализируем знак: $2>0$ и $(x-4)^2\geq0$ для любого $x$, причем $(x-4)^2=0$ только при $x=4$. Дробь равна нулю при $x=4$ (так как $4+6=10>0$). Если $(x-4)^2>0$, знак дроби определяется знаком знаменателя, поэтому для отрицательного значения дроби требуется $x+6<0$, то есть $x<-6$.

Таким образом, неравенство $\frac{2(x-4)^2}{x+6}\leq0$ выполняется, если либо $x<-6$, либо $x=4$. Учтем, что $x=-6$ исключается, так как знаменатель не должен равняться нулю.