Задание 20 — №472398

Шаг 1. Запишем исходное неравенство: $ (3 - x)(x^2 + 4x - 21) \geq 0 $. Заметим, что квадратный трехчлен можно разложить на множители, так как $ x^2+4x-21=(x+7)(x-3) $. Подставляем это разложение: $ (3-x)(x+7)(x-3) \geq 0 $.

Шаг 2. Преобразуем множитель $ 3-x $. Заметим, что $ 3-x=-(x-3) $. Тогда выражение принимает вид: $ (3-x)(x+7)(x-3)=-(x-3)(x+7)(x-3) $.

Шаг 3. Объединим одинаковые множители: $ -(x-3)(x-3)(x+7)=-(x-3)^2(x+7) $. Получаем неравенство: $ -(x-3)^2(x+7) \geq 0 $.

Шаг 4. Умножим неравенство на $ -1 $. При умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (свойство умножения неравенств на отрицательное число). Тогда получаем: $ (x-3)^2(x+7) \leq 0 $.

Шаг 5. Анализируем полученное выражение. Заметим, что $ (x-3)^2 \geq 0 $ для любого $ x $, и равно нулю только при $ x=3 $. Следовательно, знак произведения зависит от множителя $ (x+7) $. Чтобы $ (x-3)^2(x+7) \leq 0 $, необходимо, чтобы выполнялось неравенство $ x+7 \leq 0 $, либо чтобы один из множителей был равен нулю.

Шаг 6. Решаем неравенство $ x+7 \leq 0 $, откуда получаем $ x \leq -7 $. Также учитываем, что $ (x-3)^2=0 $ при $ x=3 $. Объединяя результаты, окончательное решение неравенства: $ (-\infty, -7] \cup \{3\} $.