Задание 20 — №472395
Уравнения, неравенства и их системы
Условие
Решите неравенство $\left( x^2 - 2x - 15 \right) \left( x^2 - 7x + 10 \right) \leq 0.$
Решите неравенство ( x^2 - 2x - 15 ) ( x^2 - 7x + 10 ) ≤ 0.
Решение
- 1
Шаг 1. Разложим многочлен $x^2 - 2x - 15$ на множители. Подбираем два числа, произведение которых равно $-15$, а сумма равна $-2$. Получаем: $x^2 - 2x - 15 = (x+3)(x-5)$.
- 2
Шаг 2. Разложим многочлен $x^2 - 7x + 10$ на множители. Подбираем два числа, произведение которых равно $10$, а сумма равна $-7$. Получаем: $x^2 - 7x + 10 = (x-5)(x-2)$.
- 3
Шаг 3. Подставляем найденные множители в исходное неравенство: $(x^2 - 2x - 15)(x^2 - 7x + 10) \leq 0$ превращается в $(x+3)(x-5)(x-5)(x-2) \leq 0$, что равносильно $(x-5)^2 (x+3)(x-2) \leq 0$.
- 4
Шаг 4. Заметим, что квадрат любого числа неотрицателен, то есть $(x-5)^2 \geq 0$ для любого $x$. Следовательно, знак произведения определяется знаком выражения $(x+3)(x-2)$. Решим неравенство $(x+3)(x-2) \leq 0$. Находим нули: при $x+3=0$ получаем $x=-3$, а при $x-2=0$ получаем $x=2$. Методом интервалов устанавливаем, что $(x+3)(x-2) \leq 0$ при $x \in [-3,2]$.
- 5
Шаг 5. Учтём, что исходное неравенство обращается в равенство также при $x=5$, так как $(x-5)^2=0$. Поэтому окончательное решение неравенства: $x \in [-3,2] \cup \{5\}$.
Ответ: $$x\in[-3,2]\cup\{5\}$$