Задание 16 — №462105
Окружность, круг и их элементы
Условие
Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 5. Найдите площадь квадрата ABCD.
Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен 5. Найдите площадь квадрата ABCD.
Решение
- 1
Обозначим сторону квадрата $ABCD$ как $x$. В прямоугольном треугольнике $ADO$ по теореме Пифагора имеем:
$$AO^2 = AD^2 + OD^2$$
Подставим известные значения: $AO = 5$, $AD = x$, $OD = \frac{x}{2}$:
$$5^2 = x^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2$$
- 2
Вычислим квадрат $OD$:
$$5^2 = x^2 + \frac{x^2}{4}$$
Это равенство можно записать как:
$$25 = x^2 + \frac{x^2}{4} = \frac{4x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = \frac{5x^2}{4}$$
- 3
Умножим обе стороны на 4 для избавления от дроби:
$$100 = 5x^2$$
Теперь разделим обе стороны на 5:
$$x^2 = 20$$
- 4
Так как $x > 0$, то $x = \sqrt{20}$. Площадь квадрата $ABCD$ равна $x^2 = 20$. Ответ: 20.
Ответ: 20