Задание 8 — №401984
Числа, вычисления и алгебраические выражения
Условие
Найдите значение выражения $\left(2 + \sqrt{3}\right)^2 + \left(2 - \sqrt{3}\right)^2.$
Найдите значение выражения (2 + √(3))^2 + (2 - √(3))^2.
Решение
- 1
Применим формулу квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ для выражения $ (2 + \sqrt{3})^2 $:
$$ (2 + \sqrt{3})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3} $$
- 2
Теперь применим формулу квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ для выражения $ (2 - \sqrt{3})^2 $:
$$ (2 - \sqrt{3})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3} $$
- 3
Теперь сложим оба полученных выражения:
$$ (2 + \sqrt{3})^2 + (2 - \sqrt{3})^2 = (7 + 4\sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) = 7 + 7 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 14 $$
Ответ: 14