Задание 17 — №356952
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
Условие
Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC = 3, AD = 7, AC = 20. Найдите AO.
Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O, BC = 3, AD = 7, AC = 20. Найдите AO.
Решение
- 1
Треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам: $\triangle BOC \tilde{\triangle} AOD$, так как $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ имеют вертикальные углы $\theta = \theta$ и накрест лежащие углы при секущей $BD$, а $BC \parallel AD$.
- 2
Из подобия треугольников получаем отношение сторон: $$\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC}$$. Подставим известные значения: $AD = 7$, $BC = 3$:
$$\frac{AO}{OC} = \frac{7}{3}$$.
- 3
Представим $OC$ как $AC - AO$, тогда у нас есть: $$\frac{AO}{AC - AO} = \frac{7}{3}$$. Умножим обе стороны на $3(AC - AO)$:
$$3AO = 7(AC - AO)$$.
- 4
Раскроем скобки и соберем все $AO$ в одну сторону: $$3AO = 7AC - 7AO \Rightarrow 10AO = 7AC \Rightarrow AO = \frac{7AC}{10}$$. Подставим $AC = 20$:
$$AO = \frac{7 \cdot 20}{10} = 14$$.
Ответ: 14