Задание 23 — №353511
Геометрические задачи на вычисление
Условие
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны $16$ и $12$, а средняя линия равна $10$.
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 16 и 12, а средняя линия равна 10.
Решение
- 1
Обозначим: в трапеции $ABCD$ диагонали $AC=12$ и $BD=16$, а длина средней линии равна $m=10$. Тогда сумма оснований равна $AD+BC=2m=20$.
- 2
Проведем высоту $CH$ из точки $C$ на основание $AD$ и через точку $C$ проведем прямую $CE$, параллельную диагонали $BD$. В результате образуется четырехугольник $BCED$, в котором $BC \parallel DE$ и $BD \parallel CE$. По свойствам параллелограмма получаем, что $DE=BC$ и $CE=BD=16$.
- 3
Рассмотрим треугольник $ACE$. Сторона $AE$ состоит из отрезков $AD$ и $DE$, то есть $AE=AD+DE$. Так как $DE=BC$, получаем $AE=AD+BC=2m=20$. Таким образом, стороны треугольника имеют значения: $AC=12$, $CE=16$, $AE=20$.
- 4
Вычислим полупериметр треугольника $ACE$: $$p=\frac{AC+CE+AE}{2}=\frac{12+16+20}{2}=24.$$
- 5
Применим формулу Герона для нахождения площади треугольника $ACE$. По теореме Герона: $$S_{ACE}=\sqrt{p\cdot(p-AC)\cdot(p-CE)\cdot(p-AE)}.$$ Подставляем значения: $$S_{ACE}=\sqrt{24\cdot(24-12)\cdot(24-16)\cdot(24-20)}=\sqrt{24\cdot12\cdot8\cdot4}.$$
- 6
Выполним вычисления: $24\cdot12=288$, $8\cdot4=32$, затем $288\cdot32=9216$, откуда $S_{ACE}=\sqrt{9216}=96$.
Ответ: 96