Задание 23 — №128
Геометрические задачи на вычисление
Условие
В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведенная к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.
В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведенная к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.
Решение
- 1
Так как $AB = CD$, то трапеция $ABCD$ является равнобедренной.
- 2
Опустим перпендикуляр $BL$ из точки $B$ на большее основание $AD$. В равнобедренной трапеции прямоугольные треугольники $ABL$ и $CHD$ равны по гипотенузе и прилежащему острому углу, откуда следует, что $AL = HD$.
- 3
Вспомним, что средняя линия трапеции равна половине суммы оснований: $$KM = \frac{BC + AD}{2}$$. Подставляя $KM = 16$ и $BC = 4$, получаем уравнение: $$16 = \frac{4 + AD}{2}$$. Умножив обе части на $2$, получим $32 = 4 + AD$, откуда $AD = 28$.
- 4
Так как $AL = HD$, основание $AD$ можно представить как сумму отрезков: $$AD = AL + BC + HD = 2HD + BC$$. Подставляя $AD = 28$ и $BC = 4$, получаем: $$28 = 2HD + 4$$.
- 5
Вычисляем $HD$: вычтем $4$ из $28$ и разделим на $2$, то есть $2HD = 28 - 4 = 24$, откуда $HD = \frac{24}{2} = 12$.
Ответ: $HD = 12$