Задание 23 — №311249

Так как трапеция равнобедренная, проведём перпендикуляр из вершины $A$ на основание $DC$ и обозначим точку основания как $H$. Тогда по свойствам равнобедренной трапеции получаем, что $AH = \frac{AB - DC}{2}$. Подставляем значения: $AH = \frac{18 - 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Периметр трапеции равен сумме оснований и двух боковых сторон, то есть $P = AB + DC + 2\,AD$. Из условия $P = 56$, поэтому находим боковую сторону $AD$: $$AD = \frac{P - (AB+DC)}{2} = \frac{56 - (18+8)}{2} = \frac{56 - 26}{2} = \frac{30}{2} = 15$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADH$, где $AD$ является гипотенузой, $AH$ основанием, а $DH$ высотой трапеции. По теореме Пифагора: $AD^2 = AH^2 + DH^2$. Подставляем известные значения и находим высоту: $$DH = \sqrt{AD^2 - AH^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = \sqrt{200} = 10\, \sqrt{2}$$.

Площадь трапеции находим по формуле $S = \frac{AB+DC}{2} \cdot DH$. Подставляем найденные значения: $$S = \frac{18+8}{2} \cdot 10\, \sqrt{2} = \frac{26}{2} \cdot 10\, \sqrt{2} = 13 \cdot 10\, \sqrt{2} = 130\, \sqrt{2}$$.