Задание 23 — №311566

Пусть одна из сторон прямоугольника равна $a$. Так как периметр равен $56$, по формуле периметра $2(a+b)=56$ получаем, что $a+b=28$, откуда другая сторона равна $b=28-a$.

Выразим площадь прямоугольника. По формуле площадь равна произведению сторон: $S=a\cdot(28-a)$.

Используем теорему Пифагора, которая говорит, что для прямоугольника выполнено $a^2+b^2=27^2$. Подставляем $b=28-a$ и получаем уравнение: $a^2+(28-a)^2=27^2$, то есть $a^2+(28-a)^2=729$.

Заметим, что сумма сторон равна $a+(28-a)=28$. По формуле квадрата суммы: $(a+(28-a))^2=a^2+2a\cdot(28-a)+(28-a)^2$. Подставляем $28$ и получаем $28^2=784=a^2+(28-a)^2+2a(28-a)$.

Зная, что $a^2+(28-a)^2=729$, подставляем в уравнение: $784=729+2a(28-a)$. Вычтем $729$ из обеих частей: $2a(28-a)=784-729=55$, откуда находим $a(28-a)=\frac{55}{2}=27,5$.

Таким образом, искомая площадь прямоугольника равна $27,5$.