Задание 23 — №311666

Шаг 1: Так как площади треугольников $AOD=16$ см$^2$ и $BOC=9$ см$^2$ не равны, делаем вывод, что стороны $AD$ и $BC$ являются основаниями трапеции $ABCD$.

Шаг 2: Рассмотрим треугольники $AOD$ и $BOC$. По признаку подобия по двум углам они подобны, а по свойству подобных треугольников отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия $k$. Используем формулу: $$\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}}=k^2.$$ Подставляем значения: $$\frac{16}{9}=k^2,$$ откуда находим $k=\frac{4}{3}$. Это означает, что отношение соответствующих сторон равно: $$\frac{AO}{OC}=\frac{4}{3}.$$

Шаг 3: Треугольники $ABO$ и $CBO$ имеют общую высоту, проведённую из точки $B$, поэтому их площади пропорциональны основаниям. Применяем правило: $$\frac{S_{ABO}}{S_{CBO}}=\frac{AO}{OC}=\frac{4}{3}.$$

Шаг 4: Поскольку $S_{CBO}=S_{BOC}=9$ см$^2$, из пропорции находим площадь треугольника $ABO$: $$S_{ABO}=\frac{4}{3}\cdot9=12$$ см$^2$.

Шаг 5: Так как треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют общее основание $AD$ и равные высоты (высоты трапеции), их площади равны. Это приводит к тому, что разность площадей треугольников, образованных диагоналями, одинакова, то есть $$S_{COD}=S_{ABO}=12$$ см$^2$.

Шаг 6: Площадь трапеции $ABCD$ равна сумме площадей четырех треугольников, на которые разбиты диагоналями: $$S_{ABCD}=S_{AOD}+S_{BOC}+S_{ABO}+S_{COD}=16+9+12+12=49$$ см$^2$.