Задание 23 — №311671

Рассмотрим треугольники $MOP$ и $KON$. По признаку подобия по двум углам: (а) углы $\angle NOK$ и $\angle MOP$ равны, так как они вертикальные; (б) углы $\angle PMO$ и $\angle NKO$ равны, так как являются внутренними накрест лежащими при параллельности $NK \parallel MP$ и секущей $MK$.

Следовательно, по теореме о подобии (по двум углам) получаем, что $\triangle MOP \sim \triangle KON$, откуда вытекает равенство отношений: $$\frac{NO}{PO} = \frac{KO}{MO} = \frac{NK}{MP}.$$

Подставим известные значения: $NK = 24$ см и $MP = 40$ см. Тогда имеем: $$\frac{NK}{MP} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}.$$ Это означает, что $KO = \frac{3}{5}MO$ и $NO = \frac{3}{5}PO$.

Рассмотрим треугольники $AMO$ и $NMK$. У них общий угол $M$, а также равны углы $\angle MAO$ и $\angle MNK$ (так как прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей, параллельна $NK$, и $MN$ является секущей). По признаку подобия треугольников (по двум углам) получаем равенство: $$\frac{AO}{NK} = \frac{MO}{MK}.$$

Заметим, что $MK = MO + KO$. Подставляя $KO = \frac{3}{5}MO$, получаем: $$MK = MO + \frac{3}{5}MO = \frac{8}{5}MO.$$ Тогда соотношение из предыдущего шага перепишется как: $$\frac{AO}{24} = \frac{MO}{\frac{8}{5}MO} = \frac{5}{8}.$$ Отсюда $AO = \frac{5}{8} \cdot 24 = 15$ см. Аналогичным образом получаем, что $BO = \frac{5}{8}NK = 15$ см.

Так как прямая проходит через точку пересечения диагоналей, то отрезок $AB$ равен сумме $AO$ и $BO$: $$AB = 15 + 15 = 30$$ см.