Задание 23 — №311711

Шаг 1: Обозначим точки: $K$ — середина стороны $AB$, $P$ — середина стороны $CD$, $H$ — середина диагонали $AC$, $E$ — середина диагонали $BD$. По теореме о средней линии (в каждом треугольнике отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине) в треугольнике $ABC$ имеем: $KH=\frac{BC}{2}$ и $KH\parallel BC$.

Шаг 2: В треугольнике $ABD$ отрезок $KE$ является средней линией, поэтому по теореме получаем: $KE=\frac{AD}{2}$ и $KE\parallel AD$.

Шаг 3: Аналогичным образом, в треугольнике $DAC$ отрезок $PH$ --- средняя линия, откуда $PH=\frac{AD}{2}$, а в треугольнике $BDC$ отрезок $PE$ является средней линией, откуда $PE=\frac{BC}{2}$.

Шаг 4: Заметим, что $KH=PE$ и $KE=PH$, значит, в четырехугольнике $KHPE$ противоположные стороны равны и параллельны, то есть это параллелограмм. Так как $KH\parallel BC$ и $KE\parallel AD$, а по условию $BC\perp AD$, получаем, что $KH\perp KE$. Следовательно, $KHPE$ является прямоугольником.

Шаг 5: В прямоугольнике диагонали равны, поэтому $HE=KP$. По условию задачи отрезок, соединяющий середины сторон $AB$ и $CD$, равен $KP=1$, отсюда $HE=1$ метр.