Задание 23 — №311712

Шаг 1. Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины выпуклого четырехугольника, а $O$, $K$, $P$, $H$ — середины отрезков $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ соответственно.

Шаг 2. Проведем отрезки $OK$, $KP$, $PH$ и $HO$, соединяющие середины сторон. По \textbf{свойству средней линии треугольника} (в треугольнике отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен и равен половине третьей стороны) получаем: в треугольнике $ABC$ $OK=\frac{1}{2}AC$, а в треугольнике $ADC$ $PH=\frac{1}{2}AC$; аналогично, в треугольниках $BCD$ и $DAB$ получаем $KP=\frac{1}{2}BD$ и $HO=\frac{1}{2}BD$.

Шаг 3. Так как $OK=PH$ и $KP=HO$, \textbf{по определению параллелограмма} получаем, что четырёхугольник $OKPH$ является параллелограммом, у которого противоположные стороны равны и параллельны.

Шаг 4. По условию задачи отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны. В параллелограмме $OKPH$ это его диагонали $KH$ и $OP$. Если диагонали параллелограмма равны, то он является \textbf{прямоугольником}. Следовательно, $OKPH$ — прямоугольник.

Шаг 5. В прямоугольнике один угол равен $90^\circ$. Это означает, что отрезки, равные половинам диагоналей $AC$ и $BD$, перпендикулярны, то есть диагонали $AC$ и $BD$ исходного четырёхугольника пересекаются под прямым углом.

Шаг 6. Применяем формулу площади для четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями: $$S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2$$, где $d_1=8$ и $d_2=5$. Подставляем: $$S=\frac{1}{2}\cdot8\cdot5=20$$. Таким образом, площадь четырёхугольника равна $20$.