Задание 23 — №311717

Так как прямые $AD$ и $BC$ параллельны, отрезок $AB$ является секущей. Это означает, что внешние углы при вершинах $A$ и $B$, обозначенные как $\angle RAB$ и $\angle OBA$, являются односторонними и их сумма равна $180^{\circ}$. Проведём биссектрисы этих углов: луч $AK$ делит угол $\angle RAB$ на две равные части $\frac{1}{2}\angle RAB$, а луч $BK$ делит угол $\angle OBA$ на две равные части $\frac{1}{2}\angle OBA$.

Тогда сумма углов у основания треугольника $KBA$ равна $$\frac{1}{2}(\angle RAB+\angle OBA)=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}.$$ Следовательно, третий угол треугольника равен $90^{\circ}$, и треугольник $KBA$ является прямоугольным (сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$).

В прямоугольном треугольнике $KBA$ действует следующая теорема: медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Обозначим точку $N$ как середину отрезка $AB$, тогда получаем, что $$KN=\frac{AB}{2}.$$ Это явное применение свойства медианы в прямоугольном треугольнике.

Аналогично, проведя биссектрисы внешних углов при вершинах $C$ и $D$, получаем, что треугольник $CED$ является прямоугольным. Если обозначить точку $M$ как середину отрезка $CD$, то медиана, проведённая к гипотенузе $CD$, равна $$EM=\frac{CD}{2}.$$ Опять же, используем свойство медианы прямоугольного треугольника.

Так как точки $K$ и $E$ получаются пересечением биссектрис внешних углов, они равноудалены от прямых $AD$ и $BC$. Это означает, что прямая $KE$ параллельна $AD$ и $BC$, и, по теореме Фалеса, если провести через середины боковых сторон трапеции среднюю линию, её длина будет равна сумме отрезков, полученных в результате деления: $$KN+NM+EM=KE.$$ При этом периметр трапеции $P_{ABCD}$ можно выразить как сумму сторон: $$P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=2KN+2NM+2EM=2(KN+NM+EM)=2KE.$$ При условии, что $KE=28$, получаем: $$P_{ABCD}=2\cdot28=56.$$