Задание 23 — №182

Построим трапецию $ABCD$ и опустим из вершин $B$ и $C$ перпендикуляры $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$. Из условия получаем, что $AD=2\cdot BC$ и $AD=2\cdot CD$, откуда следует, что $BC=CD$. Отрезок $HK$, лежащий между проекциями, равен $BC$.

Рассмотрим треугольник $DCK$. Так как $CK\perp AD$, то в этом прямоугольном треугольнике сумма его острых углов равна $90^\circ$. Угол $\angle ADC=60^\circ$, следовательно, угол $\angle DCK=90^\circ-60^\circ=30^\circ$.

В прямоугольном треугольнике с углом $30^\circ$ (по свойствам треугольника $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$) катет, противолежащий углу $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Применяем это к треугольнику $DCK$: гипотенуза $CD$, значит $KD=\frac{CD}{2}$.

На основании $AD$ отрезок $AH$ равен разности $AD-HK-KD$. Подставляем: $AH=2CD-CD-\frac{CD}{2}=\frac{CD}{2}$.

Так как в треугольниках $ABH$ и $DCK$ равны оба катета ($AH=KD=\frac{CD}{2}$ и $BH=CK$), они равны, что доказывает, что трапеция $ABCD$ равнобедренная. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, поэтому $\angle BAD=\angle ADC=60^\circ$.

Тогда в треугольнике $ABH$ высота на основание равна $$BH=AB\cdot\sin(\angle BAD)=2\cdot\sin(60^\circ)=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$.

При этом, учитывая, что $AD=2CD$, можно принять $CD=2$, откуда $AD=4$ и $BC=CD=2$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH$. Подставляем найденные значения: $S=\frac{4+2}{2}\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.