Задание 23 — №314867

Пусть точка $P$ — середина стороны $AD$. Тогда получаем: $AP=PD=\frac{AD}{2}$. По условию $AD=2\cdot CD$, следовательно, $PD=\frac{AD}{2}=CD$. Таким образом, в треугольнике $PCD$ стороны $PD$ и $CD$ равны, и он является равнобедренным. Также дано, что $\angle ADC=60^\circ$, а так как точка $P$ лежит на $AD$, угол при вершине $D$ в треугольнике $PCD$ равен $60^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $PCD$, где сумма углов равна $180^\circ$, вычисляем углы при основании по формуле: $$\angle PCD=\angle CPD=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$ Таким образом, все углы треугольника $PCD$ равны $60^\circ$, что по свойству равностороннего треугольника означает, что $PC=PD=CD$.

По условию трапеции $AD=2\cdot BC$. Так как $P$ — середина $AD$, то $PD=\frac{AD}{2}=BC$. Мы уже нашли, что $PC=PD$, следовательно, $PC=BC$.

Рассмотрим треугольник $BCP$. Из построения и расположения сторон в трапеции угол $BCP$ определяется как $120^\circ-60^\circ=60^\circ$ (так как угол у основания равен $120^\circ$, а из треугольника $PCD$ отнимаем $60^\circ$). Имея две равные стороны $BC=PC$ и угол между ними $60^\circ$, заключаем, что треугольник $BCP$ равносторонний.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ABP$. Из условия известно, что $AB=1$. Вычисляем угол $APB$: $$\angle APB=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ.$$ Таким образом, треугольник $ABP$ также равносторонний. Получается, что трапеция $ABCD$ разбивается на три равносторонних треугольника ($ABP$, $BCP$, $PCD$) со стороной $a=1$. Площадь равностороннего треугольника находится по формуле: $$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$ Подставляя $a=1$, получаем $S=\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Тогда общая площадь трапеции: $$S_{ABCD}=3\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.$$