Задание 23 — №316359
Геометрические задачи на вычисление
Условие
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает его сторону BC в точке E. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если $BE = 7$, $EC = 3$, а $\angle ABC = 150^{\circ}.$
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает его сторону BC в точке E. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BE = 7, EC = 3, а ∠ ABC = 150^(°).
Решение
- 1
Сначала находим длину стороны $BC$. Так как точка $E$ делит сторону $BC$ на отрезки $BE = 7$ и $EC = 3$, получаем: $BC = 7 + 3 = 10$.
- 2
Рассмотрим биссектрису $AE$ угла $BAD$. По определению биссектрисы имеем: $\angle BAE = \angle EAD$. Кроме того, поскольку $AD \parallel BC$, по свойству накрест лежащих углов получаем: $\angle BEA = \angle EAD$. Таким образом, $\angle BEA = \angle BAE$.
- 3
В треугольнике $ABE$, если два угла равны, то и соответствующие им стороны равны (признак равнобедренного треугольника). Следовательно, $AB = BE = 7$.
- 4
Площадь параллелограмма $ABCD$ определяется по формуле: $$S_{ABCD} = AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC.$$ Подставляем известные значения: $AB = 7$, $BC = 10$, а $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$, откуда получаем: $$S_{ABCD} = 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 35.$$
- 5
Таким образом, окончательный ответ: $35$.
Ответ: 35