Задание 23 — №324759

Шаг 1. По определению параллелограмма, в $ABCD$ стороны $BC$ и $AD$ параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Пусть точка $E$ — пересечение биссектрис углов $A$ и $D$, причем $E$ лежит на стороне $BC$.

Шаг 2. Поскольку $AE$ является биссектрисой угла $A$, по определению биссектрисы получаем: $$\angle BAE = \angle EAD.$$ Одновременно, так как $AE$ — секущая, проходящая через параллельные прямые $BC$ и $AD$, по теореме о накрест лежащих углах имеем: $$\angle BEA = \angle EAD.$$ Сравнивая два равенства, заключаем: $$\angle BEA = \angle BAE.$$

Шаг 3. По свойству равнобедренного треугольника (если углы при основании равны, то равны боковые стороны), в треугольнике $ABE$ имеем, что стороны, противолежащие равным углам, равны, то есть $AB = BE$.

Шаг 4. Аналогично, рассматривая биссектрису угла $D$, в треугольнике $CED$ получаем, что $EC = CD$. А поскольку в параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, то $AB = CD$. Отсюда следует: $$AB = BE = EC = CD.$$

Шаг 5. Так как точка $E$ лежит на стороне $BC$ и делит её на две равные части, получаем: $$BE = EC = \frac{BC}{2}.$$ Подставляем $BC = 40$: $$BE = \frac{40}{2} = 20.$$ Используя равенство $AB = BE$, находим $AB = 20$.