Задание 23 — №352568
Геометрические задачи на вычисление
Условие
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20, BF = 15.
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20, BF = 15.
Решение
- 1
В трапеции $ABCD$ углы при боковой стороне $AB$ удовлетворяют соотношению $\angle ABC+\angle BAD=180^\circ$. Так как биссектриса делит угол на две равные части, получаем: $\angle ABF=\frac{1}{2}\angle ABC$ и $\angle BAF=\frac{1}{2}\angle BAD$.
Тогда сумма углов в точке пересечения биссектрис равна $$\angle ABF+\angle BAF=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle BAD)=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ$$, то есть треугольник $ABF$ имеет прямой угол в точке $F$. - 2
В прямоугольном треугольнике $ABF$ по \textbf{теореме Пифагора} имеем $$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}.$$ Подставляем данные: $AF=20$ и $BF=15$, получаем $$AB=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25.$$
Ответ: 25