Задание 23 — №351992

В трапеции $ABCD$ сумма смежных углов при боковой стороне равна $180^\circ$. По условию дано, что $\angle BCD=150^\circ$, поэтому находим смежный угол $\angle ADC$ как $\angle ADC=180^\circ-150^\circ=30^\circ$.

В правоугольном треугольнике $CHD$ применяем определение синуса: $\sin(\angle ADC)=\frac{CH}{CD}$. Подставляем известные значения: $CD=33$ и $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$, получаем $CH=33\cdot\frac{1}{2}=16.5$.

По свойствам параллельных прямых углы, накрест лежащие, равны, то есть $\angle ABC=\angle BAK$. Поэтому высоты, опущенные из этих углов ($CH$ и $BK$), равны: $BK=16.5$.

В прямоугольном треугольнике $ABK$ снова применяем определение синуса: $\sin(\angle BAK)=\frac{BK}{AB}$. Отсюда находим $$AB=\frac{BK}{\sin(\angle BAK)}=\frac{16.5}{\sin(60^\circ)}$$. При этом $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому выражение примет вид: $AB=\frac{16.5\cdot2}{\sqrt{3}}=\frac{33}{\sqrt{3}}$.

Упростим полученное выражение, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $AB=\frac{33\sqrt{3}}{3}=11\sqrt{3}$.