Задание 23 — №339709

Пусть задан параллелограмм $ABCD$, в котором биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $K$. Из условия известно, что сторона $BC = 19$ и расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно $7$.

Рассмотрим угол $A$. По свойству биссектрисы (теорема: точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон угла) проведём из точки $K$ перпендикуляры к сторонам, образующим угол $A$, и обозначим их основания как $H$ и $N$. Тогда треугольники $AHK$ и $ANK$ являются прямоугольными, имеют общий гипотенузу $AK$ и равные углы при вершине $A$, откуда следует, что $KH = KN = 7$.

Аналогичным образом, рассмотрим угол $B$. Из свойства биссектрисы точки, лежащей на биссектрисе угла, равноудаленной от сторон угла, получаем, что перпендикуляр, опущенный из $K$ на сторону, параллельную $AD$, равен $MK = 7$. Следовательно, высота параллелограмма, проведённая через точку $K$, равна $MN = KN + MK = 7 + 7 = 14$.

Площадь параллелограмма находится по формуле: $S = AD \cdot MN$. Так как в параллелограмме $AD = BC = 19$, подставляем: $$S = 19 \cdot 14 = 266.$$