Задание 23 — №339619

Шаг 1. Заданы данные: $AC=7$, $BD=15$ и средняя линия $m=10$. Из соотношения для трапеции $m=\frac{AD+BC}{2}$ следует, что $AD+BC=20$.

Шаг 2. Проведём из точки $C$ высоту $CH$ на основание $AD$, а через точку $C$ проведём прямую $CE$, параллельную диагонали $BD$. Тогда в четырехугольнике $BCED$ получаем, что $BC\parallel DE$ и $BD\parallel CE$, то есть $BCED$ является параллелограммом. По свойствам параллелограмма: $CE=BD=15$ и $DE=BC$.

Шаг 3. Рассмотрим треугольник $ACE$. Заметим, что $AE=AD+DE$. Так как $DE=BC$, получаем $AE=AD+BC=2m=20$.

Шаг 4. Найдём полупериметр треугольника $ACE$. По формуле: $$p=\frac{AC+CE+AE}{2}=\frac{7+15+20}{2}=21.$$

Шаг 5. Применяем формулу Герона, которая гласит: $$S=\sqrt{p(p-AC)(p-CE)(p-AE)}.$$ Подставляем полученные значения: $$S_{ACE}=\sqrt{21(21-7)(21-15)(21-20)}=\sqrt{21\cdot 14\cdot 6\cdot 1}=\sqrt{1764}=42.$$

Шаг 6. Выразим площадь треугольника $ACE$ через основание и высоту: $$S_{ACE}=\frac{1}{2}\cdot AE\cdot CH.$$ Отсюда находим высоту: $$CH=\frac{2S_{ACE}}{AE}=\frac{2\cdot42}{20}=\frac{84}{20}=4.2.$$ Площадь трапеции равна произведению высоты и средней линии: $$S_{trap}=CH\cdot m=4.2\cdot10=42.$$