Задание 8 — №353059

Упростим выражение $\left( \frac{2b}{5a} - \frac{5a}{2b} \right) \cdot \frac{1}{2b + 5a}$. Для этого сначала найдем общий знаменатель для дробей в скобках:

Общий знаменатель $= 10ab$, тогда:

$$\frac{2b}{5a} - \frac{5a}{2b} = \frac{4b^2 - 25a^2}{10ab}$$

Теперь подставим это выражение обратно:

$$\left( \frac{4b^2 - 25a^2}{10ab} \right) \cdot \frac{1}{2b + 5a} = \frac{4b^2 - 25a^2}{10ab(2b + 5a)}$$

Теперь подставим значения $a = \frac{1}{5}$ и $b = \frac{1}{9}$:

$$\frac{4 \left( \frac{1}{9} \right)^2 - 25 \left( \frac{1}{5} \right)^2}{10 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{9} \left( 2 \cdot \frac{1}{9} + 5 \cdot \frac{1}{5} \right)}$$

Вычислим числитель и знаменатель:

Числитель: $4 \cdot \frac{1}{81} - 25 \cdot \frac{1}{25} = \frac{4}{81} - 1 = \frac{4 - 81}{81} = \frac{-77}{81}$.

Знаменатель: $10 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{9} \cdot \left( \frac{2}{9} + 1 \right) = 10 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{11}{9} = \frac{110}{405} = \frac{22}{81}$.

Теперь подставим в дробь:

$$\frac{-77/81}{22/81} = \frac{-77}{22} = -3,5$$