Задание 13 — №352247
Неравенства, системы неравенств
Условие
Решите неравенство $x^2 - 1 \leq 0$ 1) нет решений 2) $[-1; 1]$ 3) $(-\infty; -1) \cup [1; +\infty)$ 4) $(-\infty; +\infty)$
Решите неравенство x^2 - 1 ≤ 0 1) нет решений 2) [-1; 1] 3) (-∞; -1) ∪ [1; +∞) 4) (-∞; +∞)
Решение
- 1
Решим неравенство $x^2 - 1 \leq 0$. Преобразуем его, используя формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$
- 2
Теперь неравенство можно записать в виде: $$(x - 1)(x + 1) \leq 0$$
- 3
Найдем нули произведения: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ и $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$. Теперь определим промежутки, на которых неравенство выполняется:
Рассмотрим знаки на интервалах $(-\infty; -1)$, $[-1; 1]$ и $(1; +\infty)$:
1. На интервале $(-\infty; -1)$: оба множителя отрицательные, произведение положительное.
2. На интервале $[-1; 1]$: один множитель отрицательный, другой положительный, произведение отрицательное или равно нулю.
3. На интервале $(1; +\infty)$: оба множителя положительные, произведение положительное.
- 4
Таким образом, неравенство выполняется на интервале $[-1; 1]$. Правильный ответ: 2.
Ответ: 2