Задание 17 — №349665
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
Условие
Основания трапеции равны 7 и 63, одна из боковых сторон равна 18, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $\frac{4\sqrt{3}}{7}$. Найдите площадь трапеции.
Основания трапеции равны 7 и 63, одна из боковых сторон равна 18, а косинус угла между ней и одним из оснований равен (4√(3))/(7). Найдите площадь трапеции.
Решение
- 1
Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD = 63$, $BC = 7$, $AB = 18$, а $\cos A = \frac{4\sqrt{3}}{7}$. Опустим перпендикуляр $BH$ на сторону $AD$.
- 2
Найдем $\sin A$ из основного тригонометрического тождества: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Подставим $\cos A = \frac{4\sqrt{3}}{7}$:
$$\sin^2 A = 1 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{48}{49} = \frac{1}{49}$$
Следовательно, $\sin A = \sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{1}{7}$.
- 3
Теперь найдем высоту $BH$: $BH = AB \cdot \sin A = 18 \cdot \frac{1}{7} = \frac{18}{7}$.
- 4
Площадь трапеции $S$ равна полусумме оснований на высоту: $S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{63 + 7}{2} \cdot \frac{18}{7} = \frac{70}{2} \cdot \frac{18}{7} = 35 \cdot \frac{18}{7} = 90$.
Ответ: 90