Задание 17 — №169884
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
Условие
Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$. Найдите площадь трапеции.
Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен (2 √(2))/(3). Найдите площадь трапеции.
Решение
- 1
Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD = 18$, $BC = 12$, $AB = 6$, а $\cos A = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$. Опустим перпендикуляр $BH$ на сторону $AD$.
- 2
Найдем $\sin A$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$:
$$\sin^2 A = 1 - \left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$$
Следовательно, $\sin A = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
- 3
Теперь найдем высоту $BH$ по формуле: $BH = AB \cdot \sin A = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2$.
- 4
Площадь трапеции $S$ равна полусумме оснований на высоту:
$$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{18 + 12}{2} \cdot 2 = 30.$$
Ответ: 30