Задание 17 — №324155
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
Условие
Основания трапеции равны 7 и 49, одна из боковых сторон равна 18, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $\frac{2 \sqrt{10}}{7}$. Найдите площадь трапеции.
Основания трапеции равны 7 и 49, одна из боковых сторон равна 18, а косинус угла между ней и одним из оснований равен (2 √(10))/(7). Найдите площадь трапеции.
Решение
- 1
Пусть основание трапеции $AB = 7$, $CD = 49$, боковая сторона $AD = 18$, а косинус угла $\theta = \frac{2 \sqrt{10}}{7}$. Найдем высоту $BH$ через синус угла $\theta$. Сначала найдем $\sin \theta$ по формуле $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:
$$\sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{2 \sqrt{10}}{7}\right)^2 = 1 - \frac{40}{49} = \frac{9}{49}$$
Следовательно, $\sin \theta = \frac{3}{7}$.
- 2
Теперь найдем высоту $BH$ по формуле $BH = AD \cdot \sin \theta$:
$$BH = 18 \cdot \frac{3}{7} = \frac{54}{7}$$
- 3
Теперь найдем площадь трапеции $S$ по формуле $S = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot BH$:
$$S = \frac{(7 + 49)}{2} \cdot \frac{54}{7} = \frac{56}{2} \cdot \frac{54}{7} = 28 \cdot \frac{54}{7} = \frac{1512}{7} = 216$$
Ответ: 216