Задание 17 — №323921

Проведем высоты в трапеции и введем обозначения. В четырехугольнике $HBCK$ выполняются условия $BC \parallel HK$ и $BH \parallel CK$, следовательно, $HBCK$ — параллелограмм. Угол $\angle BHK = 90^{\circ}$, значит, $HBCK$ — прямоугольник, откуда $BH = CK$ и $BC = HK = 50$.

Поскольку трапеция равнобедренная, углы $\angle BAH$ и $\angle CDK$ равны. Треугольники $ABH$ и $CDK$ прямоугольные, имеем $BH = CK$ и $\angle BAH = \angle CDK$, следовательно, эти треугольники равны. Отсюда находим $AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{104 - 50}{2} = 27$.

Теперь найдем высоту $CK$ по теореме Пифагора: $CK = \sqrt{CD^2 - KD^2} = \sqrt{45^2 - 27^2} = \sqrt{2025 - 729} = \sqrt{1296} = 36$.

Рассмотрим треугольник $ACK$, который является прямоугольным. По теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AK^2 + CK^2} = \sqrt{(AH + HK)^2 + CK^2} = \sqrt{(50 + 27)^2 + 36^2} = \sqrt{77^2 + 36^2} = \sqrt{5929 + 1296} = \sqrt{7225} = 85$.