Задание 17 — №323902

Проведем высоты $BH$ и $CK$ в трапеции, где $BC = 5$, $AD = 17$, $AB = 10$ и $CD = 10$. Обозначим точки пересечения высот с основаниями как $H$ и $K$. В четырехугольнике $HBCK$ выполняются условия: $BC \parallel HK$ и $BH \parallel CK$, следовательно, $HBCK$ — параллелограмм.

Так как угол $BHK = 90^{\circ}$, то $HBCK$ является прямоугольником, откуда $BH = CK$ и $BC = HK = 5$.

Поскольку трапеция равнобедренная, углы $BAH$ и $CDK$ равны. Треугольники $ABH$ и $CDK$ прямоугольные, и так как $BH = CK$ и $\angle BAH = \angle CDK$, то эти треугольники равны. Следовательно, высоты $AH$ и $KD$ равны и равны:

$$AH = KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{17 - 5}{2} = 6.$$

Теперь найдем высоту $BH$ по теореме Пифагора: $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.

Теперь найдем площадь трапеции по формуле:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{5 + 17}{2} \cdot 8 = \frac{22}{2} \cdot 8 = 11 \cdot 8 = 88.$$