Задание 17 — №169885
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
Условие
Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен $\frac{\sqrt{2}}{4}$. Найдите площадь трапеции.
Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен (√(2))/(4). Найдите площадь трапеции.
Решение
- 1
Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD = 18$, $BC = 12$, $AB = 6$, а $\tan A = \frac{\sqrt{2}}{4}$. Опустим перпендикуляр $BH$ на сторону $AD$. Обозначим $AH = x$. Тогда по определению тангенса угла имеем:
$$\tan A = \frac{BH}{AH} = \frac{BH}{x} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$
- 2
Из этого уравнения выразим $BH$: $BH = \frac{\sqrt{2}}{4} x$.
По теореме Пифагора для треугольника $ABH$ имеем:
$$AB^2 = AH^2 + BH^2 \Rightarrow 6^2 = x^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4} x\right)^2$$
Раскроем скобки:
$$36 = x^2 + \frac{2}{16} x^2 = x^2 + \frac{1}{8} x^2 = \frac{9}{8} x^2$$
- 3
Умножим обе стороны на $\frac{8}{9}$:
$$x^2 = \frac{8}{9} \cdot 36 = 32 \Rightarrow x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$
Теперь подставим $x$ в выражение для $BH$: $BH = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot 4\sqrt{2} = 2$.
- 4
Теперь найдем площадь трапеции по формуле:
$$S = \frac{(AD + BC)}{2} \cdot BH = \frac{(18 + 12)}{2} \cdot 2 = \frac{30}{2} \cdot 2 = 30.$$
Ответ: 30