Задание 17 — №349118
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
Условие
В трапеции ABCD известно, что AD = 5, BC = 1, а ее площадь равна 51. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
В трапеции ABCD известно, что AD = 5, BC = 1, а ее площадь равна 51. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN – средняя линия трапеции ABCD.
Решение
- 1
Найдём среднюю линию трапеции $MN$, которая равна полусумме оснований $AD$ и $BC$:
$$MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3.$$
- 2
Площадь трапеции $ABCD$ равна произведению полусуммы оснований на высоту $BH$:
$$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH.$$ Подставим известные значения и выразим высоту $BH$: $$51 = \frac{5 + 1}{2} \cdot BH \Rightarrow BH = \frac{2 \cdot 51}{5 + 1} = \frac{102}{6} = 17.$$
- 3
Так как $MN$ — средняя линия, то $MN \parallel AD$, и $BK \perp KN$. По теореме Фаллеса отрезки $BK$ и $KH$ равны:
$$BK = KH = \frac{BH}{2} = \frac{17}{2} = 8.5.$$
- 4
Теперь найдём площадь трапеции $BCNM$:
$$S_{BCNM} = \frac{BC + MN}{2} \cdot BK = \frac{1 + 3}{2} \cdot 8.5 = \frac{4}{2} \cdot 8.5 = 2 \cdot 8.5 = 17.$$
Ответ: 17