Задание 17 — №348628
Четырёхугольники, многоугольники и их элементы
Условие
Основания трапеции равны 9 и 54, одна из боковых сторон равна 27, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $\frac{\sqrt{65}}{9}$. Найдите площадь трапеции.
Основания трапеции равны 9 и 54, одна из боковых сторон равна 27, а косинус угла между ней и одним из оснований равен (√(65))/(9). Найдите площадь трапеции.
Решение
- 1
Пусть дана трапеция $ABCD$, где $AD = 54$, $BC = 9$, $AB = 27$, а $\cos A = \frac{\sqrt{65}}{9}$. Опустим перпендикуляр $BH$ на сторону $AD$.
- 2
Найдем $\sin A$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$:
$$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{65}}{9}\right)^2 = 1 - \frac{65}{81} = \frac{16}{81}$$
Следовательно, $\sin A = \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{4}{9}$.
- 3
Найдем высоту $BH$ как $BH = AB \cdot \sin A = 27 \cdot \frac{4}{9} = 12$.
- 4
Площадь трапеции $S$ равна полусумме оснований на высоту:
$$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{54 + 9}{2} \cdot 12 = \frac{63}{2} \cdot 12 = 378.$$
Ответ: 378