Задание 15 — №348795

В равностороннем треугольнике медиана $BH$ является также высотой и биссектрисой. Обозначим сторону треугольника как $AB = 16 \sqrt{3}$. В прямоугольном треугольнике $ABH$ по теореме Пифагора имеем:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

Так как $AH = \frac{AB}{2}$, подставим это значение в уравнение:

$$AB^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 + BH^2$$

Подставим $AB = 16 \sqrt{3}$:

$$ (16 \sqrt{3})^2 = \left(\frac{16 \sqrt{3}}{2}\right)^2 + BH^2$$

Вычислим $AB^2$ и $\left(\frac{AB}{2}\right)^2$:

$$ 768 = 64 + BH^2$$

Теперь выразим $BH^2$:

$$ BH^2 = 768 - 64 = 704$$

Теперь найдём $BH$:

$$ BH = \sqrt{704} = \sqrt{16 \cdot 44} = 4 \sqrt{44} = 4 \cdot 2 \sqrt{11} = 8 \sqrt{11}$$

Однако, для медианы в равностороннем треугольнике существует формула: $m = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot AB$. Подставим $AB = 16 \sqrt{3}$:

$$ m = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 16 \sqrt{3} = 24$$