Задание 22 — №341230

Шаг 1. Раскроем модуль: если $x \geq -6$, то $|x+6| = x+6$, а если $x < -6$, то $|x+6| = -(x+6)$.

Шаг 2. Подставляем условие в исходную функцию $y = x^2 + 11x - 4|x+6| + 30$:

• При $x \geq -6$: подставляем $|x+6| = x+6$, получаем $$y = x^2 + 11x - 4(x+6) + 30 = x^2 + 11x - 4x - 24 + 30 = x^2 + 7x + 6.$$
• При $x < -6$: подставляем $|x+6| = -(x+6)$, получаем $$y = x^2 + 11x - 4(-x-6) + 30 = x^2 + 11x + 4x + 24 + 30 = x^2 + 15x + 54.$$

Шаг 3. Строим график функции $$y = x^2 + 7x + 6$$ для $x \geq -6$. Эта парабола имеет ветви, направленные вверх. Определим координаты вершины по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$: подставляем $a=1$, $b=7$, получаем $$x_v = -\frac{7}{2} = -3.5.$$ Тогда $$y_v = (-3.5)^2 + 7\cdot(-3.5) + 6 = -6.25.$$ Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(-6; 0)$ и $(-1; 0)$, а ось ординат в точке $(0; 6)$.

Шаг 4. Строим график функции $$y = x^2 + 15x + 54$$ для $x < -6$. Эта парабола также открыта вверх. Найдем вершину: по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$ при $a=1$, $b=15$, получаем $$x_v = -\frac{15}{2} = -7.5.$$ Тогда $$y_v = (-7.5)^2 + 15\cdot(-7.5) + 54 = -2.25.$$ Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(-9; 0)$ и $(-6; 0)$.

Шаг 5. Определяем значения $m$, при которых прямая $y = m$ имеет ровно три общие точки с графиком:

• При $m = 0$: график функции $y = x^2+7x+6$ пересекает ось абсцисс в точках $(-6; 0)$ и $(-1; 0)$, а график функции $y = x^2+15x+54$ пересекает ось абсцисс в точках $(-9; 0)$ и $(-6; 0)$. Так как точка $(-6; 0)$ общая, всего получаем три различные точки пересечения: $(-9; 0)$, $(-6; 0)$ и $(-1; 0)$.
• При $m = -2.25$: функция $y = x^2+15x+54$ имеет вершину в точке $(-7.5; -2.25)$ (касание), а уравнение $x^2+7x+6 = -2.25$ имеет два различных решения, оба удовлетворяют условию $x \geq -6$.
  
  Таким образом, прямая пересекает график в трех точках.