Задание 22 — №311583

Разобъём функцию $y=x^2-3|x|-x$ на два случая в зависимости от знака $x$. При $x\geq0$ подставляем $|x|=x$, получаем: $y=x^2-3x-x=x^2-4x$. При $x<0$ подставляем $|x|=-x$, получаем: $y=x^2-3(-x)-x=x^2+3x-x=x^2+2x$.

Для функции при $x\geq0$: $y=x^2-4x$. Выделим полный квадрат, используя формулу $$x^2+bx=(x+\frac{b}{2})^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2$$. Подставляем $b=-4$: $x^2-4x=(x-2)^2-4$. Получаем вершину графика в точке $(2,-4)$. Найдём нули уравнения $x^2-4x=0$: раскладываем $x(x-4)=0$, откуда $x=0$ и $x=4$.

Для функции при $x<0$: $y=x^2+2x$. Выделим полный квадрат по той же формуле: $x^2+2x=(x+1)^2-1$. Вершина графика находится в точке $(-1,-1)$. Решим уравнение $x^2+2x=0$: $x(x+2)=0$, получаем $x=0$ и $x=-2$, однако поскольку область определения – $x<0$, используем только $x=-2$, что даёт точку $(-2,0)$.

Найдём значение $c$, при котором прямая $y=c$ пересекает график ровно в три точки. При $c=0$ для $x\geq0$ решаем уравнение $x^2-4x=0$, получая $x=0$ и $x=4$. Для $x<0$ уравнение $x^2+2x=0$ даёт решения $x=0$ и $x=-2$, но $x=0$ не входит в область определения, поэтому остаётся $x=-2$. Итог: точки пересечения $(-2,0)$, $(0,0)$ и $(4,0)$ – три точки.

Проверим $c=-1$. Для $x\geq0$ уравнение $x^2-4x=-1$ преобразуется в $x^2-4x+1=0$. Применяем формулу корней квадратного уравнения: $$x=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt{3}$$, и оба корня удовлетворяют условию $x\geq0$. Для $x<0$ уравнение $x^2+2x=-1$ записывается как $x^2+2x+1=0$, то есть $(x+1)^2=0$, откуда $x=-1$. Таким образом, точки пересечения: $(2-\sqrt{3},-1)$, $(2+\sqrt{3},-1)$ и $(-1,-1)$ – три точки.