Задание 22 — №311559

Определим область определения функции $y=\frac{x-2}{(\sqrt{x^2-2x})^2}$. Подкоренное выражение $x^2-2x$ должно быть строго положительным, чтобы корень имел смысл и знаменатель не обращался в ноль, то есть требуется $x^2-2x>0$.

Решим неравенство $x^2-2x>0$. Вынесем общий множитель: $x^2-2x=x\cdot (x-2)$. Неравенство $x(x-2)>0$ выполняется, если $x\in (-\infty,0)$ или $x\in (2,+\infty)$. Таким образом, область определения функции — $(-\infty,0)\cup (2,+\infty)$.

Преобразуем функцию. Заметим, что $$(\sqrt{x^2-2x})^2=x^2-2x=x\cdot (x-2).$$ Тогда функция принимает вид $y=\frac{x-2}{x(x-2)}$. При условии $x\neq2$ можно сократить общий множитель $(x-2)$, и получаем $y=\frac{1}{x}$ на области $(-\infty,0)\cup (2,+\infty)$.

Найдём точки пересечения графика функции $y=\frac{1}{x}$ с прямой $y=kx$. Приравняем: $\frac{1}{x}=kx$. Умножив обе части на $x$ (при $x\neq 0$), получаем $1=kx^2$, то есть $kx^2-1=0$. Отсюда следует, что $x^2=\frac{1}{k}$, а значит $x=\pm\sqrt{\frac{1}{k}}$.

Анализируем полученные корни с учетом области определения.

Если $0<k<\frac{1}{4}$, то $\sqrt{\frac{1}{k}}>2$, и оба решения $x=\sqrt{\frac{1}{k}}\in (2,+\infty)$ и $x=-\sqrt{\frac{1}{k}}\in (-\infty,0)$ удовлетворяют области определения, что даёт две точки пересечения.

Если же $k\geq\frac{1}{4}$, то $\sqrt{\frac{1}{k}}\leq2$, и положительный корень не удовлетворяет условию $x>2$, остаётся только отрицательный корень $x=-\sqrt{\frac{1}{k}}\in (-\infty,0)$, что обеспечивает ровно одну общую точку пересечения.

При $k\leq 0$ уравнение не имеет действительных решений.