Задание 22 — №311565
Функции и их свойства. Графики функций
Условие
Постройте график функции $y=\frac{\left( \sqrt{x^2 - 5x + 6} \right)^2}{x - 3}$ и найдите все значения a, при которых прямая $y=a$ не имеет с графиком данной функции общих точек.
Постройте график функции y=(√(x^2 - 5x + 6))^2/(x - 3) и найдите все значения a, при которых прямая y=a не имеет с графиком данной функции общих точек.
Решение
- 1
Шаг 1. Определим область определения функции.
Для заданной функции $y=\frac{\sqrt{x^2-5x+6}}{x-3}$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $x^2-5x+6\geq0$, и знаменатель отличался от нуля: $x-3\neq0$.
Заметим, что $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$. Решая неравенство $(x-2)(x-3)\geq0$, получаем, что оно выполняется при $x\leq2$ или $x\geq3$. Так как $x-3\neq0$, исключаем значение $x=3$.
Таким образом, область определения: $x\in(-\infty,2]\cup(3,+\infty)$. - 2
Шаг 2. Упростим функцию. Запишем функцию в виде $y=\frac{\sqrt{(x-2)(x-3)}}{x-3}$. Заметим, что если возвести числитель в квадрат, то получим $(\sqrt{(x-2)(x-3)})^2=(x-2)(x-3)$. Применяя правило сокращения (так как $x-3\neq0$), получаем: $$\frac{(x-2)(x-3)}{x-3}=x-2.$$ Таким образом, на области определения функция принимает вид $y=x-2$.
- 3
Шаг 3. Определим множество значений функции. Так как функция имеет вид $y=x-2$, то при $x\leq2$ получаем $y\leq0$, а при $x>3$ получаем $y>1$. Следовательно, множество значений функции равно $(-\infty,0]\cup(1,+\infty)$.
- 4
Шаг 4. Найдём значения параметра $a$, при которых прямая $y=a$ не имеет общих точек с графиком функции. Прямая $y=a$ не пересекает график, если $a$ не принадлежит множеству значений функции, то есть если $a\in(0,1]$. Таким образом, искомое условие имеет вид: $a\in(0,1]$.
Ответ: $$a\in(0,1]$$