Задание 22 — №311610

Шаг 1. Рассмотрим случай, когда $x \geq 2$.
Так как $x-2 \geq 0$, получаем $ |x-2| = x-2 $. А поскольку $x+1 \geq 0$, то $ |x+1| = x+1 $. Подставляем в функцию $y=|x-2|-|x+1|+x-2$:
$$ y=(x-2)-(x+1)+x-2. $$
Упрощая, получаем:
$$ y=x-2-x-1+x-2=x-5. $$
Результат: для $x \geq 2$ график задается прямой $y=x-5\>.

Шаг 2. Рассмотрим случай, когда $-1 \leq x < 2$.
Так как $x-2 < 0$, то $ |x-2| = 2-x $. А $x+1 \geq 0$ даёт $ |x+1| = x+1 $. Подставляем в функцию:
$$ y=(2-x)-(x+1)+x-2. $$
После преобразований получаем:
$$ y=-x-1. $$
Результат: для $-1 \leq x < 2$ график задается прямой $y=-x-1\>.

Шаг 3. Рассмотрим случай, когда $x < -1$.
В этом случае $x-2 < 0$, поэтому $ |x-2| = 2-x $, и $x+1 < 0$, откуда $ |x+1| = -x-1 $. Подставляем в функцию:
$$ y=(2-x)-(-x-1)+x-2. $$
Упрощая, получаем:
$$ y=x+1. $$
Результат: для $x < -1$ график задается прямой $y=x+1\>.

Шаг 4. Определим точки пересечения графика функции с прямой $y=m$, решая уравнения для каждого участка:

1) Для $x < -1$:
$$ x+1=m \Longrightarrow x=m-1. $$
Чтобы точка принадлежала участку, должно выполняться $m-1 < -1$, откуда $m < 0$.

2) Для $-1 \leq x < 2$:
$$ -x-1=m \Longrightarrow x=-m-1. $$
Условие $-1 \leq -m-1 < 2$ эквивалентно ограничению $-3 < m \leq 0$.

3) Для $x \geq 2$:
$$ x-5=m \Longrightarrow x=m+5. $$
Так как $x \geq 2$, должно быть $m+5 \geq 2$, то есть $m \geq -3$.

Результат: в зависимости от значения $m$ у нас могут получаться точки пересечения на одном, двух или трёх участках.

Шаг 5. Анализируем число точек пересечения для разных значений $m$:

$\bullet$ Если $m=-3$:
Из первого участка: $x=m-1=-3-1=-4$ (при $x < -1$ верно).
Из третьего участка: $x=m+5=-3+5=2$.
Заметим, что в среднем участке решение даёт $x=-(-3)-1=2$, но $x=2$ не принадлежит интервалу $-1 \leq x < 2$, поэтому точка $(2,-3)$ учитывается только из третьего участка.

Таким образом, получаем две точки пересечения: $(-4,-3)$ и $(2,-3)$.

$\bullet$ Если $m=0$:
Из второго участка: $x=-0-1=-1$, причём $-1$ принадлежит $-1 \leq x < 2$.
Из третьего участка: $x=0+5=5$.
Таким образом, точки пересечения: $(-1,0)$ и $(5,0)$.

$\bullet$ Если $-3 < m < 0$, то на всех трёх участках есть решения, и линия $y=m$ пересечет график в трёх точках.

Вывод: прямая $y=m$ имеет ровно две общие точки с графиком функции только при $m=-3$ и $m=0$.