Задание 22 — №75

Рассмотрим функцию, заданную кусочно: для $|x| \leq 1$ имеем $y=x^2$ (парабола с вершиной в $(0,0)$), а для $|x| > 1$ имеем $y=-\frac{1}{x}$ (ветвь гиперболы).

Найдем точки пересечения прямой $y=c$ с параболической ветвью. Решим уравнение $x^2=c$. По правилу извлечения квадратного корня (если $a=x^2$, то $x=\sqrt{a}$ или $x=-\sqrt{a}$) подставляем: $$x=\sqrt{c} \quad \text{или} \quad x=-\sqrt{c}.$$ Это уравнение имеет смысл, если $c\geq0$. При $c=0$ получаем единственное решение $x=0$, а при $c>0$ --- два решения, то есть две точки пересечения.

Найдем точки пересечения прямой $y=c$ с гиперболической ветвью. Решим уравнение $-\frac{1}{x}=c$. Умножая обе части на $x$ (при условии $x\neq0$) получим $$-1=c\cdot x.$$ Отсюда $x=-\frac{1}{c}$, при условии $c\neq0$. Чтобы точка принадлежала ветви гиперболы, должно выполняться условие $|x| > 1$, то есть: $$\left| -\frac{1}{c} \right| > 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{|c|} > 1 \quad \Rightarrow \quad |c| < 1.$$ Поскольку при $c>0$ парабола уже даёт два пересечения, рассматриваем только отрицательные значения $c$, получая интервал $-1<c<0$, при котором прямая пересекает гиперболу ровно в одной точке.

Подытожим полученное: при $c>0$ прямая $y=c$ пересекает график параболы в двух точках, а при $c\leq-1$ условие $|x|>1$ для гиперболы не выполняется. Единственные случаи с ровно одной точкой пересечения --- это $c=0$, когда прямая касается параболы в точке $(0,0)$, и интервал $-1<c<0$, когда прямая пересекает гиперболу в одной точке. Таким образом, прямая $y=c$ имеет ровно одну общую точку с графиком функции при $-1<c\leq0$. Итоговый ответ: $(-1;0]$.