Задание 22 — №338465

Шаг 1: Преобразуем функцию для $x \geq -4$: запишем $x^2 + 4x + 4$ в виде полного квадрата. По формуле $(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ при $a = 2$ получаем: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Это означает, что график функции $y = (x+2)^2$ получается из графика $y = x^2$ сдвигом на вектор $(-2; 0)$.

Шаг 2: Рассмотрим вторую часть функции при $x < -4$: $y = -\frac{16}{x}$. Запишем её как $y = -16 \cdot \frac{1}{x}$. Таким образом, график функции получается из графика $y = \frac{1}{x}$ при растяжении в $16$ раз по оси ординат и отражении относительно оси $Ox$.

Шаг 3: Определим точку стыка графиков двух участков. При $x = -4$ для функции $y = (x+2)^2$ получаем: $(-4+2)^2 = (-2)^2 = 4$, а для функции $y = -\frac{16}{x}$: $-\frac{16}{-4} = 4$. Следовательно, обе части графика проходят через точку $(-4; 4)$.

Шаг 4: Найдём точки пересечения прямой $y = m$ с ветвью функции $y = (x+2)^2$ при $x \geq -4$. Приравниваем: $$ (x+2)^2 = m. $$ Извлекая квадратный корень, получаем: $x = -2 \pm \sqrt{m}$, при условии, что $m \geq 0$. При $m = 0$ получаем единственное решение $x = -2$, а при $m > 0$ — два решения, из которых решение $x = -2 - \sqrt{m}$ должно удовлетворять условию $x \geq -4$.

Шаг 5: Для ветви функции $y = -\frac{16}{x}$ при $x < -4$ приравниваем $-\frac{16}{x} = m$. Решая это уравнение, получаем: $x = -\frac{16}{m}$. Это решение удовлетворяет условию $x < -4$ только в том случае, если $$ -\frac{16}{m} < -4, $$ что при $m > 0$ равносильно условию $m < 4$.

Шаг 6: Анализируя пересечения, видим следующее.

При $m \in (0; 4)$ прямая $y = m$ пересекает график функции в трёх точках: два раза с ветвью $y = (x+2)^2$ (при $x = -2 \pm \sqrt{m}$, оба удовлетворяют условию $x \geq -4$) и один раз с ветвью $y = -\frac{16}{x}$ (так как $x = -\frac{16}{m} < -4$). Это даёт три общие точки, что не соответствует условию задачи.

При $m = 0$ прямая касается графика параболы в единственной точке $x = -2$, а при $m \geq 4$ пересечения происходят только с ветвью $y = (x+2)^2$: при $m = 4$ получаем две точки (так как $x = -2+2 = 0$ и $x = -2-2 = -4$, где точка $(-4; 4)$ учтена единожды), а при $m > 4$ — только одно решение, удовлетворяющее условию $x \geq -4$.

Таким образом, прямая $y = m$ имеет с графиком функции одну или две общие точки только при $m \in \{0\} \cup [4; +\infty)$.