Задание 22 — №338420

Шаг 1: Рассмотрим случай, когда $x\geq0$. Подставляем в исходное выражение $y=\frac{(x^2+3x)|x|}{x+3}$ значение $|x|=x$, получаем $$y=\frac{(x^2+3x)x}{x+3}.$$

Шаг 2: Заметим, что $x^2+3x$ можно вынести как общий множитель: $x^2+3x=x(x+3)$. Тогда выражение становится $$y=\frac{x(x+3)x}{x+3}.$$ При условии, что $x+3\neq0$ (при $x\geq0$ это всегда соблюдается), сокращаем на $x+3$ и получаем $$y=x^2.$$

Шаг 3: Теперь рассмотрим случай, когда $x<0$. Здесь $|x|=-x$, поэтому подставляем в исходную формулу: $$y=\frac{(x^2+3x)(-x)}{x+3}.$$ Опять заметим, что $x^2+3x=x(x+3)$, откуда получаем $$y=\frac{-x\cdot x(x+3)}{x+3}=-x^2.$$ При этом важно: $x\neq -3$, так как при $x=-3$ знаменатель равен нулю.

Шаг 4: Запишем функцию в виде системы: $$y=\begin{cases} -x^2, &\text{при } x<0,\, x\neq-3,\\ x^2, &\text{при } x\geq0. \end{cases}$$ Отметим, что при подстановке $x=-3$ получалось бы $y=-9$, но эта точка исключена из области определения.

Шаг 5: Анализируя график, видно, что при $x\geq0$ функция принимает все значения $y\geq0$, а при $x<0$ отображается парабола $y=-x^2$, которая даёт все $y\leq0$, за исключением $y=-9$ (единственное решение уравнения $-x^2=-9$ даётся при $x=-3$, что не входит в область определения). Таким образом, горизонтальная прямая $y=m$ не пересекает график функции только при $m=-9$.