Задание 22 — №338409

Шаг 1. Представим функцию $y = x^2 - 6|x| + 8$ в виде системы, используя определение модуля. При $x \geq 0$ имеем, что $|x| = x$, поэтому получаем $y = x^2 - 6x + 8$. При $x < 0$ знак модуля меняется: $|x| = -x$, и тогда $y = x^2 + 6x + 8$.

Шаг 2. Построим график функции. По виду функции $y = ax^2+bx+c$ видно, что обе части являются параболами: одна для $x \geq 0$ с уравнением $y = x^2 - 6x + 8$, а вторая для $x < 0$ с уравнением $y = x^2 + 6x + 8$. Эти параболы соединяются в точке $x = 0$, образуя кривую с изгибом.

Шаг 3. Запишем уравнение прямой, параллельной оси абсцисс. По определению прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение $y = c$, где $c$ — произвольная постоянная.

Шаг 4. Найдём некоторое верхнее ограничение на число общих точек графика функции и прямой $y = c$. Каждая из парабол (при $x \geq 0$ и $x < 0$) может иметь максимум две точки пересечения с прямой, так как соответствующее уравнение является квадратным. Применяя теорему о количестве корней квадратного уравнения, получаем, что общее число точек пересечения не более $2 + 2 = 4$.