Задание 22 — №338314

Шаг 1: Запишем исходную функцию $$y=\frac{1}{2\left|\frac{x}{3.5}-\frac{3.5}{x}\right|+\frac{x}{3.5}+\frac{3.5}{x}}$$ через обозначение $A=\frac{x}{3.5}-\frac{3.5}{x}$, тогда получаем $$y=\frac{1}{2\left|A\right|+\frac{x}{3.5}+\frac{3.5}{x}}$$.

Шаг 2: Найдём знак выражения $A$. Преобразуем его по формуле приведения к общему знаменателю:
$$A=\frac{x}{3.5}-\frac{3.5}{x}=\frac{x^2-3.5^2}{3.5\cdot x}=\frac{x^2-12.25}{3.5x}$$.
По полученному соотношению делим область определения на два случая:
• При $x\leqslant-3.5$ и $0<x<3.5$ имеем $A<0$.
• При $-3.5<x<0$ и $x\geqslant3.5$ имеем $A\geqslant0$.

Шаг 3: Раскроем модуль в зависимости от знака $A$.
• Если $A<0$ (то есть при $x\leqslant-3.5$ и $0<x<3.5$), то по определению модуля $|A|=-A=\frac{3.5}{x}-\frac{x}{3.5}$. Подставляя это в исходное выражение, получаем:
$$y=\frac{1}{2\left(\frac{3.5}{x}-\frac{x}{3.5}\right)+\frac{x}{3.5}+\frac{3.5}{x}},$$
что при сокращении даёт конечное равенство:
$$y=\frac{3.5}{x}.$$
• Если $A\geqslant0$ (то есть при $-3.5<x<0$ и $x\geqslant3.5$), то $|A|=A=\frac{x}{3.5}-\frac{3.5}{x}$. Подставляем и получаем:
$$y=\frac{1}{2\left(\frac{x}{3.5}-\frac{3.5}{x}\right)+\frac{x}{3.5}+\frac{3.5}{x}},$$
что сокращается до
$$y=\frac{x}{3.5}.$$

Шаг 4: Построив график полученной функции (как видно на рисунке), видим, что прямая $y=m$ пересекает график ровно в одной точке только при значениях $m=-1$ и $m=1$.