Задание 22 — №338253

Шаг 1. Запишем функцию $y=x^2-|4x+3|$. По определению модуля $|4x+3|$, имеем: $$|4x+3|=\begin{cases}4x+3, & x\geq -\frac{3}{4},\\-(4x+3), & x< -\frac{3}{4}.\end{cases}$$ Отсюда функция принимает вид: $$y=\begin{cases}x^2-(4x+3)=x^2-4x-3, & x\geq -\frac{3}{4},\\x^2- (-(4x+3))=x^2+4x+3, & x< -\frac{3}{4}.\end{cases}$$

Шаг 2. Приведём каждое выражение к виду полного квадрата. Для выражения $x^2+4x+3$ прибавляем и вычитаем $4$: $x^2+4x+3=x^2+4x+4-1=(x+2)^2-1$. Аналогично, для выражения $x^2-4x-3$ прибавляем и вычитаем $4$: $x^2-4x-3=x^2-4x+4-7=(x-2)^2-7$.

Шаг 3. Геометрически, график функции $y=(x+2)^2-1$ получается из графика $y=x^2$ сдвигом на точку $(-2,-1)$ (для части с $x< -\frac{3}{4}$), а график функции $y=(x-2)^2-7$ – сдвигом на точку $(2,-7)$ (для части с $x\geq -\frac{3}{4}$).

Шаг 4. Чтобы прямая $y=m$ пересекала график ровно в трёх точках, должна быть одна точка касания (двойной корень) и два обычных пересечения.

При $m=-1$ уравнение $(x+2)^2-1=-1$ даёт единственное решение $x=-2$, а уравнение $(x-2)^2-7=-1$ превращается в $(x-2)^2=6$, что даёт два решения. Либо при рассмотрении точки изменения ветки, находим $$y\left(-\frac{3}{4}\right)=\left(-\frac{3}{4}\right)^2-4\left(-\frac{3}{4}\right)-3=\frac{9}{16}\approx0.5625$$.

Таким образом, искомые значения: $m=-1$ и $m=0.5625$.