Задание 22 — №338160

Запишем функцию, учитывая определение модуля. При $x<0$ имеем $|x|=-x$, поэтому
$y=-x(x+1)-6x=-x^2-7x$. При $x\geq0$ имеем $|x|=x$, поэтому
$y=x(x+1)-6x=x^2-5x$.

Для ветки при $x<0$ приведём выражение к полному квадрату. Запишем
$y=-x^2-7x=-\left(x^2+7x\right)$. Используем формулу выделения полного квадрата для многочлена $x^2+7x$: по формуле
$x^2+7x=\left(x+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{49}{4}$,
получаем
$$y=-\left[\left(x+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{49}{4}\right]=-\left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\frac{49}{4}$$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $\left(-\frac{7}{2},\frac{49}{4}\right)$.

Для ветки при $x\geq0$ также выделим полный квадрат. Имеем
$y=x^2-5x$.
Применим формулу для выделения полного квадрата:
$x^2-5x=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}$,
то есть вершина параболы — точка $\left(\frac{5}{2},-\frac{25}{4}\right)$.

Определим условие касания прямой $y=m$ к графиком. Рассмотрим сначала левую ветку: при $x<0$ уравнение графика имеет вид
$-\left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\frac{49}{4}=m$.
Прямая касается графика, если она проходит через вершину, то есть при
$m=\frac{49}{4}$. В этом случае у ветки получается единственная (двойная) точка пересечения.

Рассмотрим правую ветку: при $x\geq0$ уравнение графика имеет вид
$\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}=m$.
Прямая касается этой ветки, если
$m=-\frac{25}{4}$, так как тогда достигается минимальное значение графика. При этом касание даёт одну точку пересечения в области $x\geq0$.

При значении $m=\frac{49}{4}$ левая ветка имеет одну (касательную) точку, а у правой ветки уравнение $x^2-5x=\frac{49}{4}$ даёт два корня, из которых только один удовлетворяет условию $x\geq0$.

Аналогично, при $m=-\frac{25}{4}$ правая ветка имеет единственную точку касания, а у левой ветки уравнение $-x^2-7x=-\frac{25}{4}$ даёт два корня, из которых только один удовлетворяет условию $x<0$.

Таким образом, при $m=\frac{49}{4}$ и $m=-\frac{25}{4}$ прямая $y=m$ пересекает график ровно в двух точках.
Переведём эти значения в десятичную запись: $\frac{49}{4}=12,25$ и $-\frac{25}{4}=-6,25$.