Задание 22 — №333129

Рассмотрим функцию, заданную кусочно: при $x \geq -3$ функция равна $x^2 + 2x + 3$, а при $x < -3$ функция равна $x + 9$. Таким образом, график состоит из параболы (для $x \geq -3$) и прямой (для $x < -3$).

Для области $x < -3$ имеем прямую $y = x + 9$. Находим точку пересечения с горизонтальной прямой $y = m$, решая уравнение $x + 9 = m$, откуда $x = m - 9$. Это решение действительно, если выполняется условие области: $m - 9 < -3$, то есть $m < 6$.

Для области $x \geq -3$ имеем параболу $y = x^2 + 2x + 3$.

При пересечении с прямой $y = m$ решаем уравнение $x^2 + 2x + 3 = m$, или $x^2 + 2x + (3 - m) = 0$. По теореме о корнях квадратного уравнения (формула корней) имеем корни
$$x = -1 \pm \sqrt{m-2}$$
при условии, что дискриминант $D = 4m - 8 \geq 0$, то есть $m \geq 2$. Кроме того, для корня $x = -1 - \sqrt{m-2}$ необходимо, чтобы $-1 - \sqrt{m-2} \geq -3$, что приводит к неравенству $\sqrt{m-2} \leq 2$ или $m \leq 6$.

Анализируя все случаи, получаем: при $m < 2$ пересечение с параболой отсутствует, а при $2 < m < 6$ прямая $y = m$ пересекает параболу в двух точках и прямую в одной точке (итого 3 точки), а при $m > 6$ пересечение происходит только с параболой (одна точка). Единственно, чтобы общее число точек пересечения было ровно два, возможны следующие случаи:
- При $m = 2$ парабола имеет двойной корень $x = -1$ (касание) и прямая дает точку $x = 2 - 9 = -7$, что в сумме дает 2 точки.
- При $m = 6$ у параболы получаем корни $x = -1 \pm 2$, то есть $x = -3$ и $x = 1$.

Заметим, что точка $x = -3$ принадлежит области $x \geq -3$ и не учитывается дважды.