Задание 22 — №316269

Шаг 1: Найдём критические точки модуля. Заметим, что выражения внутри модулей меняют знак при $x=3$ (так как $x-3=0$) и при $x=-3$ (так как $x+3=0$).

Шаг 2: Раскроем модули на каждом из получившихся интервалов. Если $x \geq 3$, то $|x-3|=x-3$ и $|x+3|=x+3$, откуда получаем $ y=(x-3)-(x+3)= -6 $. Если $-3<x<3$, то $x-3<0$, поэтому $|x-3|=3-x$, а $|x+3|=x+3$, и тогда $ y=(3-x)-(x+3)= -2x $. Если $x \leq -3$, то и $x-3<0$, и $x+3<0$, поэтому $|x-3|=3-x$ и $|x+3|=-x-3$, откуда $ y=(3-x)-(-x-3)= 6 $.

Шаг 3: Запишем функцию в виде кусочно определённой системы: $$ y=\begin{cases} -6, & x \geq 3,\\ -2x, & -3 < x < 3,\\ 6, & x \leq -3. \end{cases} $$ График состоит из двух горизонтальных линий при $x \geq 3$ и $x \leq -3$, а также прямой $y=-2x$ на промежутке $(-3,3)$, проходящей через точки $(-3,6)$ и $(3,-6)$.

Шаг 4: Определим значения $k$, при которых прямая $y=kx$ пересекается с графиком ровно в одной точке. Для среднего участка (при $-3<x<3$) функция равна $-2x$. Приравнивая $kx=-2x$, получаем \textbf{свойство нулевого произведения}: $ (k+2)x=0 $. Если $k \neq -2$, то единственное решение — $x=0$, то есть точка $(0,0)$. При $k=-2$ уравнение тождественно, и пересечений будет бесконечно много. Дополнительно, рассмотрим крайние участки: при $x \geq 3$ функция равна $-6$, и уравнение $kx=-6$ даёт решение $x=-6/k$, которое принадлежит промежутку $[3, +\infty)$ только если $k \in [-2,0)$; аналогично, при $x \leq -3$ функция равна $6$, и уравнение $kx=6$ даёт решение $x=6/k$, действительное при $k \in [-2,0)$. Таким образом, если $k \in [-2,0)$, прямая пересекается с графиком ещё в двух точках, помимо $(0,0)$. Для того чтобы пересечение было ровно одно, дополнительные точки не должны возникать, то есть должно выполняться условие: $ k \in (-\infty,-2) \cup [0,+\infty) $.