Задание 22 — №314700

Выделим полный квадрат для выражения $x^2-4x$. Для этого прибавим и вычтем число $4$: $$x^2-4x=(x^2-4x+4)-4=(x-2)^2-4.$$ Таким образом, график функции $y=x^2-4x$ совпадает с графиком параболы $y=(x-2)^2-4$, полученной сдвигом графика $y=x^2$ на вектор $(2; -4)$.

Построим график параболы $y=(x-2)^2-4$ только для значений $x > -1$, так как по условию функция $y=x^2-4x$ определена при $x > -1$.

Построим график функции $y=-\frac{5}{x}$ для $x \leq -1$. Этот график получается из графика $y=\frac{1}{x}$ путём отражения относительно оси абсцисс (из-за минуса) и растяжения по оси $y$ в $5$ раз.

Определим, при каких значениях $c$ прямая $y=c$ пересекает построенный график в трёх точках.

Для параболы найдём точки пересечения с прямой $y=c$ через уравнение: $$x^2-4x=c.$$ Преобразуем его к виду полного квадрата: $$ (x-2)^2=c+4,$$ откуда получаем два решения $x=2\pm\sqrt{c+4}$. Чтобы оба решения удовлетворяли условию $x > -1$, необходимо, чтобы левый корень удовлетворял неравенству $2-\sqrt{c+4} > -1$, то есть $\sqrt{c+4} < 3$, что эквивалентно $c+4 < 9$ и, следовательно, $c < 5$.

Для ветви гиперболы решим уравнение $-\frac{5}{x}=c$. Из него получаем $x=-\frac{5}{c}$. Так как эта ветвь определена при $x \leq -1$, то при положительном $c$ должно выполняться неравенство $-\frac{5}{c} \leq -1$, что при умножении на $-1$ (и изменении знака неравенства) даёт $\frac{5}{c} \geq 1$, откуда $c \leq 5$. Кроме того, $c$ не может равняться $0$, иначе уравнение гиперболы не имеет решения.

Таким образом, чтобы прямая $y=c$ пересекала график параболы в двух точках и гиперболы в одной точке, необходимо, чтобы $0 < c < 5$.