Задание 22 — №311923

Шаг 1. Преобразуем выражение для $x < -1$: $y=-x^2-4x-4$. Вынесем минус: $-x^2-4x-4=-\left(x^2+4x+4\right)$. Так как $x^2+4x+4=\left(x+2\right)^2$, получаем $y=-\left(x+2\right)^2$. Это означает, что график функции получается из графика $y=x^2$ отражением относительно оси $Ox$ и сдвигом на вектор $(-2;0)$.

Шаг 2. Преобразуем выражение для $x \geqslant -1$: $y=1-|x-1|$. Разобьем модуль по определению. Если $x \geqslant 1$, то $|x-1|=x-1$ и $y=1-(x-1)=2-x$. Если $-1 \leqslant x < 1$, то $|x-1|=1-x$ и $y=1-(1-x)=x$. Таким образом, функция задаётся двумя линейными частями: $y=x$ для $-1 \leqslant x < 1$ и $y=2-x$ для $x \geqslant 1$.

Шаг 3. Находим точки пересечения графика функции с прямой $y=a$. Для части 1 (при $x < -1$) решаем уравнение $-\left(x+2\right)^2=a$. Применяем операцию умножения на $-1$:
$$-\left(x+2\right)^2=a \iff \left(x+2\right)^2=-a.$$
Решение существует при $a \leqslant 0$, и формулы для корней имеют вид $x=-2 \pm \sqrt{-a}$. Однако, с условием $x < -1$, если $a < -1$ допускается только значение $x=-2-\sqrt{-a}$ (так как $-2+\sqrt{-a} \geqslant -1$).

Шаг 4. Определим пересечения для второй части функции.
\textbf{Для части 2} (при $-1 \leqslant x < 1$): уравнение $y=x$ пересекается с прямой $y=a$ при $x=a$, что имеет смысл, если $a$ принадлежит отрезку $[-1,1)$.
\textbf{Для части 3} (при $x \geqslant 1$): уравнение $2-x=a$ даёт решение $x=2-a$, что корректно, если $2-a \geqslant 1$ (то есть $a \leqslant 1$).
Анализируя полученные точки, видим, что ровно две точки пересечения возникают в двух случаях:
– При $a < -1$: пересекается часть 1 (точка $x=-2-\sqrt{-a}$) и часть 3 (точка $x=2-a$).
– При $0 < a < 1$: пересекаются части 2 (точка $x=a$) и 3 (точка $x=2-a$).